在雨中跑步与走路淋雨问题数据模型分析

由于最近高强度更新的蒋氏数学内容过于硬核，今天给大家带来一点简单数学。

相信读者朋友们都有肉身不带雨伞过在大雨中奔跑的经历。我个人非常喜欢硕大雨点拍在脸上的感觉。每次在雨中行走时，我都会想，究竟是在雨中跑快点淋的雨少还是慢慢走淋的雨少呢？以前我猜测跑快点淋的雨多，因为明显雨点打在脸上更痛，不过也仅是猜测，没有严谨验证。接下来我将通过数学建模的方式来稍微研究一下。也就是研究移动速度和淋雨量的关系。

首先，假设的情景是：正在下雨，一个人在户外，想要从一个地方走到另一个地方，但他没有带雨伞或者雨衣。此时他想要找到一个最合适的速度移动过去而淋到最少的雨。跑还是不跑，这是个问题。

接下来是把这个现实情景简化成能够处理的模型。以下是模型的前提：

1.       这个人以匀速直线运动

2.       这个人是一个长方体

3.       降雨量稳定且没有风

以下是整个模型用到的所有乱七八糟的变量。大概看看就好，之后都会有详细解释。

要研究这个问题，首先要搞明白什么是雨。在这个模型中，雨应当被理解为一种类气体物质，或者叫“雨气”。它体积无限大，并以匀速垂直向下运动。它有两个重要的量：雨水密度ρ 和下落速度 V_R。下落速度很好理解。雨水密度并不是指水的密度，而是在单位体积的“雨气”中水的质量。

模型中的雨

上图展示了雨的两个性质。如果图中方块区域的雨气体积是1m³，那么这个区域中就包含了ρ千克的水。

再考虑地上面积为A的一块区域，这块区域单位时间内的淋雨量则为ρ * V_R * A，单位为[kg/s]。经过t秒，这块区域就有M 千克的雨打在上面：

拓展到所有情况，也就是：

这个简单公式就是整个模型的核心。对于上图中的最简单情景，由于平面A是静止的，有效速度V_E等于雨的下落速度V_R。而平面和雨也没有夹角，有效面积A_E等于平面面积A。

接下来将逐一解释V_EA_Etρ四个重要变量。

一个方块人在雨中移动

当一个（方块）人在雨中移动时，从图中可以看到两个速度，雨的下落速度V_R和人的移动速度Vp. 为了方便分析，我们换个参考系，让人保持静止，把人的速度给加到雨的速度上。这样就会得到一个速度更快而且斜着的雨。

雨天坐高铁或飞机的时候可以看到斜着的雨

斜的雨

用一点三角函数和向量的知识，可以得到：

和

雨的角度和有效速度十分重要。角度决定了最终的有效面积，而有效速度直接影响淋雨量。很明显，当雨水密度一定时，雨的速度越快，那每秒打在身上的水就越多。

方块人

模型中的方块人高H米，宽W米，厚T米。由于我们假设无风，当他在雨中向前走的时候，只有正面和顶部会接触到雨。所以我们也只需要考虑正面和顶部的面积。

使用一些小学数学：

顶部面积 A₁ = TW

正面面积 A₂ = HW

由于雨可能是斜的，正面和顶部并不完全暴露在雨中，而是根据角度变化。此时就要考虑有效淋雨面积。

有效面积

上图中的蓝线代表方块人的真实面积，红线表示实际在淋雨的有效面积。再用一点初中三角函数来表示：

顶部有效面积 A_1E = A₁cos(θ)

正面有效面积 A_2E = A₂sin(θ)

总有效面积 A_E = A_1E + A_2E

 

同时记得：

A₁ = TW

A₂ = HW

结合一下：

至此，相信大家已经轻松理解基础公式

中的V_E和A_E，我们继续分析t和ρ。

这个人的目的地距离始发地的距离为d米，而他的速度为V_p。那么移动所耗的时间就是：

最后，我们要定义并解释最后一个变量ρ。

为了模型的准确性和适用性，我们最好能够使用真实的数据。首先我们来看一下现实中降雨量是如何表示的。日常生活中，读者朋友们肯定听说过“降雨量xx毫米”之类的播报。最常用的降雨量单位是[mm/m²/day]，也就是“毫米每平方米每天”，简称“毫米”。

意思是一平方米的地面每天可以积累的雨水高度，等同于[L/m²/day]，“升每平方米每天”。例如，如果我们说有一场降雨量为100mm的暴雨，那么意思就是这场雨中每天平方米土地都能积起100mm深的水（如果不排水），或者每平方米土地都被浇上了100L雨水。

仅使用降雨量的数据是不够的，我们还需要雨的速度。当雨滴在云层中形成后，它首先会因重力而向下加速，而后又因风阻和重力达到力平衡，最后雨滴将维持一个恒定的终端速度落地。根据一些论文，雨滴的终端速度与其体积有直接关系，而雨滴体积又与降雨量是直接相关的。降雨量越大，雨滴平均尺寸越大，终端速度也越高。

用降雨量，终端速度和液体密度来得到雨水密度：

量纲分析验证一下准确性：

注意到此公式中用到的降雨量I_S与常用降雨量I_C单位不同，需要转换一下。例如，从[mm/m²/day]转换为：[Lm^-2s^-1]：

除了[mm m^-2 day^-1]，还有一些其他的常用降雨量单位，如[mm m^-2 hour^-1]，[mm m^-2 month^-1]和[mm m^-2 year^-1]。代入数据时稍稍转换一下即可。

至此，基本方程中的四个变量都解释完了，现在总结一下。

基本方程：

每个变量：

有效雨速度

有效淋雨面积

淋雨时间

雨水密度

全部放在一起：

用这个公式就可以分析移动速度和淋雨量的关系了。M是应变量，V_P是自变量，除此之外都是常量。接下来，我们将合适的常量代入进去来看看结果如何。

假设这个人高1.8米，宽1.5米，厚0.3米。他要走总共1000米直线。正在下雨。随便选了一个中雨的降雨量25 mm m^-2 day^-1，也就是0.00029 Lm^-2s^-1。

我们查一下这个降雨量下的雨滴终端速度。

降雨量和雨滴直径的关系

(Cerdá, A. “Rainfall Drop Size Distribution in the Western Mediterranean Basin, València, Spain.” CATENA, vol. 30, no. 2-3, 1997, pp. 169–182., doi:10.1016/s0341-8162(97)00019-2.)

通过这篇论文收集分析的信息，我们可以找到降雨量和雨滴直径的关系。将25 mm m^-2 day^-1转换为上图中使用的单位，为1.04 mm m^-2 hour^-1。根据作者给出的趋势线：

把1.04 mm m^-2 hour^-1代入，得到：

也就是说在这个降雨量下水滴的平均直径大约是0.079cm。

然后，我们再找到一篇研究雨滴尺寸和终端速度的论文。

雨滴直径与终端速度的关系

(Serio, Maria A., et al. “Raindrop Size Distribution and Terminal Velocity for Rainfall Erosivity Studies. A Review.” Journal of Hydrology, vol. 576, 2019, pp. 210–228., doi:10.1016/j.jhydrol.2019.06.040.)

虽然作者给出了趋势线的公式，但我们可以方便点直接用大眼睛看图。当水滴直径为0.079cm时终端速度大概是2.7 ms^-1.

把常量列一下：

把这些量代入方程：

画个图

x轴是人的速度，y轴是总淋雨质量

从图中可以看出，人跑得越快淋雨就越少。但仅在低速有明显减少，高速情况下没啥区别。

事实上，就算人跑得无限快，也至少会淋到一定量的雨水。当V_p趋近于无限时：

每项分开看，首先发现：

于是，含有三角函数的那一项变成常数：

0.9放进去一起再看剩下的：

由于：

所以：

无论跑的多快，至少也要淋0.9667kg的雨。

函数的渐近线

物理上验证：

极高速下的情况

根据上图，当人的速度极高时，雨滴可以视为静止。这个人就会“横扫”过路径上的所有水滴。因此，总质量为：

给出总扫过的雨气体积，ρ为雨气密度。

代入验证：

结果与之前一致。

结论：跑的快确实能减少淋到的雨，但是人是有极限的，跑的再快还是要淋雨。建议大家在不累死自己的前提下跑快点或者带把雨伞。