由USAMO题目延伸出的概率论知识

本月，我们一起来挑战一道USAMO中较为困难的问题，并看看机构的老师给我们提供了怎么样的解题思路——

每月一题

2020 USAMO Problem 6

 A 证明：首先要通过一些小的n，得到取等条件：

solution 1

可以看到，本题的代数证明非常复杂，笔者参考了Anyndche的解答，并修改了其中一些明显的错误之处。虽然以上的证明已经可以作为USAMO的完整解答，但我们可以进一步观察题干，发现要证的结论与我们熟知的Chebyshev不等式类似，但离散情形的Chebyshev不等式仅能得到 ，又结合和，让我们可以联想到概率论中的Chebyshev不等式的思想，使用期望方法解决它。

solution 2

以上证明反映了本题深刻的数学背景，它包含了抽象代数中的置换概念，概率论中方差的性质，本题也启发大家在学习概率论时，一定要认真理解期望、随机变量等概念，熟悉它们的计算。