今天我们来做一下 2018年BPhO Section 2 第 5 大题的最后两个小问，分值合计 10 分。按理说出题者会把最难的题放在最后两个小问，这两道无限电路的题也着实别出心裁，在常规考试中基本见不到，需要用到特殊的小技巧来把它们解决。下面看题吧：
d) The following network shown in Figure 9 is infinite. Find an expression for the resistance between A and B in as simple a form as possible, and determine the resistance when r1 = 4 Ω and r2 = 15 Ω. Hint: consider adding new resistors r1 and r2 at the left end of the circuit shown.
(4)
e) The network shown in Figure 10 consists of an infinite number of cells of e.m.f. ε1 and ε2 with corresponding internal resistances R1 and R2 respectively. A resistor R of value R = 1.0 Ω, is connected to the end of the series. If the values of the e.m.f.s and resistances are ε1 = 1.0 V, ε2 = 2.0 V, R1 = 4 Ω, R2 = 6 Ω, determine the value of the current flowing through resistor R.
(6)
答案解析：
先分析 d) 问，如下图，电路很复杂、说不清到底是串联还是并联，要我们求 A、B 两点间的总电阻 RAB。
题中给出的 “Hint” 就很关键！这个电路是由无限个电阻 r1 和 r2 连接起来的，“Hint” 中让我们在电路左侧再添加一对儿 r1 和 r2 。可能一下看不出来它什么用意，我们就按照题目中所说的来做，假设上图电路中的总电阻是 RAB，在其左侧再添加一对儿 r1 和 r2 作图有：
图中的电阻 r2 和 RAB 并联，然后与 r1 串联。三个电阻接在 C、D 两个接头处，那么两个接头间的总电阻 RCD 就有：
接下来的思考逻辑将变得有意思、非常微妙。由于这个电路是个无限电路，那么在左侧多添加一对儿、或少添加一对儿 r1 和 r2 将不会改变总电阻，因此接头 C、D 间的总电阻应等于接头 A、B 间的总电阻，有 RCD = RAB。
如果没听懂，我再说一遍其中的逻辑：因为题目中的电路是由无限对儿 r1 和 r2 组合而成，那么在电路左侧多一对儿 r1 和 r2 并不会改变电路的总电阻。 C、D 间比 A、B间就多出那么一对儿 r1 和 r2，对于无限电路来说微乎其微，有这一对儿、没这一对儿都不影响总电阻，所以 RCD = RAB。代入上式、并计算就能解得 RAB 的表达式：
上式是一个关于 RAB 的一元二次方程，用数学中的求根公式即可求出 RAB：
两个根中有一个为负，但我们遇到的是物理问题，电阻阻值不能为负数，所以去掉负根，保留正根有：
再将题目已知 r1 = 4 Ω、r2 = 15 Ω 代入上式即可求出无限电路的总阻值：
再来分析 e)，如下图，也是个无限电路，红框框出了这个电路的重复单元。由于有无限多个类似红框中的单元，所以多一个、或少一个这种单元都不影响电路中的电流。那么如果我们把下图中红框右侧的单元移除，使红框中的单元直接和电阻 R 并联，流经 ε2 和 R2 的电流将不会发生变化。由此，我们得到了一个非常重要的信息，即下图中流经 ε2 和 R2 支路的电流都相同，可设为 I2。
根据上述分析，我们可以单独拿出上图中的右侧部分做基尔霍夫定律的分析，如下图：
上图中已标好经过电阻 R 的电流 I 的方向，和经过ε2 和 R2 支路的电流 I2 的方向。那么根据基尔霍夫定律中的 Junction Rule，不难推断经过 ε1 和 R1 支路的电流为 I - I2 ，方向如上图，和经过 F 和 D 节点间导线的电流 I - I2 。
标好电流后，发现只有 I 和 I2 两个未知数，那么就要再列两个方程。所以下面通过基尔霍夫定律的 Loop Rule 在图中找两个 Loop 来列方程。
先看 Loop ABCDA，沿逆时针走一圈回到 A 点后，电势的总变化为 0，所以列式、并代入已知数据可整理出第一个方程：
同理，再根据上图找出第二个 Loop，比如 Loop ABCEFDA，逆时针绕个大圈以后还是回到 A 点，电势的总变化为 0，列式并代数化简有：
现在有两个未知数、两个公式，求出电流 I 并非难事，可先将上述 (2) 式两端同时乘以 3，有：
继而用 (1) 式 减去 (3) 式，消掉电流 I2，即可求出 I：
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