第 1 题. 对每个整数 a0 > 1, 定义数列 a0 , a1 , a2 , ... 如下: 对于任意的 n > 0,
试求满足下述条件的所有a0: 存在一个数 A, 使得对无穷多个 n, 有an = A.
第 2 题. 设 R 是全体实数构成的集合. 求所有的函数 f: R ! R, 使得对于任意实数 x 和 y, 都有
第 3 题. 一个猎人和一只隐形的兔子在欧氏平面上玩一个游戏. 已知兔子的起始位置 A0 和猎人的起始位置 B0 重合. 在游戏进行n-1 回合之后, 兔子位于点 An_1 , 而猎人位于点 Bn_1 . 在第 n 个回 合中, 以下三件事情依次发生.
(i) 兔子以隐形的方式移动到一点An , 使得点An_1 和点An 之间的距离恰为 1.
(ii) 一个定位设备向猎人反馈一个点 Pn . 这个设备唯一能够向猎人保证的事情是, 点 Pn 和点 An之间的距离至多为 1.
(iii) 猎人以可见的方式移动到一点 Bn , 使得点 Bn_1 和点 Bn 之间的距离恰为 1.
试问, 是否无论兔子如何移动, 也无论定位设备反馈了哪些点, 猎人总能够适当地选择她的移动 方式, 使得在 10^9回合之后, 她能够确保和兔子之间的距离至多是 100?
第 4 题. 设 R 和 S 是圆 Ω 上互异两点, 且 RS 不是直径. 设 ℓ 是圆 Ω 在点 R 处的切线. 平面上一 点 T 满足, 点 S 是线段 RT 的中点. J 是圆 Ω 的劣弧 RS 上一点, 使得三角形 JST 的外接圆 Γ 交ℓ 于两个不同点. 记 Γ 与ℓ 的交点中接近 R 的那个为 A. 直线 AJ 交圆 Ω 于另一点 K. 证明, 直线 KT 和圆 Γ 相切.
第 5 题. 给定整数 N ≥ 2. N(N + 1) 个身高两两不同的足球队员站成一排. 球队教练希望从这些 球员中移走 N(N-1)人, 使得这一排上剩下的 2N 名球员满足如下 N 个条件:
(1) 他们当中身高最高的两名球员之间没有别的球员,
(2) 他们当中身高第三和第四的两名球员之间没有别的球员,
(N) 他们当中身高最矮的两名球员之间没有别的球员.
证明, 这总是可以做到的.
第 6 题. 一个本原格点是一个有序整数对 (x, y), 其中 x 和 y 的最大公约数是 1. 给定一个有限的 本原格点集 S, 证明, 存在一个正整数 n 和整数 a0 , a1 , ..., an , 使得对于 S 中的每一个 (x, y), 都成立:
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