第一天
1.凸四边形中, (O_{A}, O_{B}, O_{C}) , (O_{D}) 分别为三角形外心, 且这四个点互不重合. 证明这四个点一定不共圆.
2.设为正整数, 在一个的网格表中, 标记若干个单元格,使得任意一个单元格与至多两个被标记的单元格相邻. (注:两个单元格相邻,指两个单元格有公共顶点,但不重合.)
(1)至多可以标记多少个单元格?
(2)在标记最多的单元格的情况下, 有多少种方法?(旋转或者镜像的方法视为不同的方法)
3.求所有正整数, 使得存在无理数, 以及正整数, 满足对任意整数, 均有为完全平方数.
第二天
4.如果实数集合是有界的,且满足对任意的,(不一定互异), 均有 ,就称是"框框集合".
求任意"框框集合"中可能存在的实数的最小值.
5.求所有非负整数组((a, b, c)), 使得
6.设为正整数. 凸多边形 既有内切圆也有外接圆, 我们称之为双心多边形. 对任意正整数, 设 (即下标按模n处理). 对任意,设为射线 与 的交点. 设为外接圆.
求证: 对存在一个圆, 与所有这个均相切.(其中 )
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