2017年英国天文学与天体物理学奥林匹克竞赛试题(上)

2017年英国天文学与天体物理学奥林匹克试题竞赛(上)

翻译：Alex

封面图：猫眼星云(NGC6543)

Credit: NASA.

试题1.火星GPS。

在地球上，全球卫星定位系统在任何时间都需要至少24颗卫星(通常有更多卫星来备用，现在所有的卫星数量超过30颗)，所以在地球上的任何地方，地平线以上都有至少4颗卫星可见(需要x, y, z和时间协调)。这是通过6个分离60°不同的轨道面，每个轨道面上有4颗卫星来实现的

轨道基本上是圆形，偏心率小于0.02，倾角为55°，轨道周期正好为半个恒星日(称为半同步轨道)。每个卫星天线的接收角度需要是27.8°，因此地球表面积的38%在satellite’s Footprint内(如figure1所示)，可以出色地覆盖所需范围。

a.已知地球的恒星日是是23小时56分钟，计算GPS卫星的轨道周期。用R⊕单位来表达你的答案。

b.无线电信号要在卫星和轨道平面上最近的卫星之间直接传播需要多长时间(假设它们是等间距的)? 一辆汽车在高速公路上(以30米每秒的速度)在那段时间内能行驶多远?

【这个可以非常粗略地估计对于那辆车的系统定位精度】

在未来，我们希望殖民火星，因此,出于导航的目的，一种GPS系统很可能最终也会在火星上建立起来。火星的质量为6.42×10²³千克，平均半径为3390公里，恒星日为24h 37分钟，还有两个(低质量)卫星，其轨道基本为圆形，半长轴为9377公里(火卫一)和23460公里(火卫二)。
c.通过适当的计算，探索一个在火星建立24颗半同步卫星GPS网络的可行性，该网络类似于地球上的半同步轨道，考虑以下因素:

(i).火星卫星是否会阻止这种轨道?

(ii).GPS的定位精度相比地球会怎么样?

(iii).每个卫星天线的接收角度需要是多少，以及相关的卫星足迹是多少?通过将这些数据与地球GPS所使用的数据进行比较，对未来火星GPS的可行性做出最后的评价。

试题2.霍曼转移轨道。

为了使航天器在轨道之间移动，我们必须使用火箭施加推力，使航天器的速度变化∆v。在这个问题中，我们将忽略由于燃料燃烧而引起的航天器质量的变化。

质量为m的物体围绕质量为M的物体沿半径为r的圆形轨道运行(其中m<< M)，其轨道速度Vorb由公式给出

a.证明在低轨道的Vorb(低轨道(LEO)；距离地面大约200KM)的值大约在8km/s。这是火箭需要提供给航天器到达LEO的∆v的估计
在行星之间旅行时最经济的路线被称为霍曼转移轨道。

这是一个近日点与内行星轨道(半径为rA)重合，远日点与外行星轨道(半径为rB)重合的椭圆。这是通过在点A处增加速度(∆vA，再在点B处增加速度(∆vB)来实现的。

对于半长轴为a的椭圆，可以表明，在质量为M距离为r时，速度v可表示为:

b.通过比较∆vA和∆vB的圆周轨道速度和转移轨道速度,得出∆vA和∆vB的表达式。简化你的最终表达式，只包含G,M⨀,rA与rB。

c.将火星轨道近似为圆形，半径为1.52AU，计算出从地球低轨道到火星的∆v，即∆v=|∆vA|+|∆vB|。将你的答案与到达地球低轨道的∆v进行比较。

d.推导出转移轨道所花费的总时间tH的表达式，并计算出一次地球到火星转移所花费的总时间。使用“月”来表达你的答案。(这里1月=30天)

e.使用你上面得出的答案，计算当航天器到达火星时，地球与火星的垂直距离。无线电消息从航天器发送到达地球需要多久?

f.飞船上的宇航员需要等多久才能使用霍曼转移轨道返回地球? 请计算此次任务的持续时间。

试题3. 弑星者基地。

作为统治银河系计划的一部分，第一秩序建造了弑星者基地。它建在一颗冰天雪地的行星上，拥有可以摧毁整个恒星系统的超级武器，使用恒星的能量来充能。弑星者基地已经进入太阳系，并试图利用太阳为其武器提供能量来摧毁地球。

对于这道题，你需要用到一个均匀密度，质量为M，半径为R的球形物体的重力结合能U，U的表达式为

并且低质主星序的质光关系为L ∝M⁴

a.假设太阳最初是由纯氢构成的，以恒定的速率进行核聚变，并将继续这样做，直到其核心的氢用完。如果核心的质量是恒星质量的10%，并且在每次聚变反应中有0.7%的质量转化为能量，证明太阳的寿命在主序上大约是100亿年。

b.弑星者基地可以停止太阳核心的核聚变

(i).以目前的亮度，太阳需要多长时间才能辐射出它所有的引力结合能?(这是对超级武器辐射充能时耗尽一整颗恒星所需时间的估计)

(ii).你计算出的数值和在问题a中计算得到太阳的主序相比如何?

(iii).评论一下在太阳生命中是否有(或将会)这样一个量级的时间尺度的事件。

c.实际上，地球的引力结合能比太阳的引力结合能低得多，因此第一秩序不需要耗尽整个恒星来获得足够的能量来摧毁地球。假设这种超级武器能够将太阳整个表面辐射的所有能量都传导给它，那么要给超级武器充上足够的能量来完成这个任务需要多长时间呢?

第一秩序发现用辐射给武器充能太慢,不能满足他们的统治银河的计划,所以将部分恒星储存在弑星者基地内部代替了充能武器(如Figure3所示)。为了避免生成一个黑洞，第一秩序不能将恒星物质压缩到低于其史瓦西半径RS=2GM/c2

d.以弑星者基地这种冰冷的星球为例，它的直径为660KM，证明即便太阳被完全抽干，依旧可以被安全存放。

e.弑星者基地想要摧毁银河系远端的一个恒星系统中的所有行星，以便从离太阳0.10M⨀的地方为其武器充能。假设在这个过程中，太阳单位体积的U近似保持不变，计算:

(i).太阳的新亮度

(ii).太阳的新半径

(iii).太阳表面的新温度(目前T⨀=5780K)，并分析(通过适当的计算)在它的颜色方面将会发生什么变化。

起义军击败了第一秩序并摧毁了几乎充满能量的弑星者基地。在释放基地中储存的能量导致该基地所在的行星变成一颗小恒星。

f.假设目前的破坏弑星者基地形成的新恒星的质量等于抽掉的太阳的质量(0.10M⨀)。推导出一个这个新恒星的主序寿命表达式(表达式里包含恒星质量),并计算该恒星的主序寿命。