P4统考题型与考点梳理

回顾五月赛季，P4模块在题量上虽有减少，不过难度上的确有所提升，同时数学模块作为 2023年最受欢迎的 5大 Alevel科目之一，分数线的上浮也是必然的。下周即是十月赛季的 P4统考，本篇将由理综教研部老师就近年题型与考点入手，为大家做最后的冲刺指引。‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍

历年题型

考点侧重

『化简与求导』

以下将以 2023年 5月的 P4真题卷为参照，对比近年来题型设置与考点分布。首先是二项展开式，需注意标准形式的三点 ①“1” ②指数是负数，分数 ③ x展开的有效范围。

2023年 5月卷中直接给出二项展开式，根据展开规则完成即可；2023年 1月倦中的二项展开式则是结合 Partial Fraction出题；2022年 10月卷的二项展开式是给出分式根号的形式，需先化简成标准形式，再展开。

这一知识点的题型，需要考生更加敏感，有时题干给出的标准形式或者类似标准形式，部分考生还能想起来。而写成分数形式，或是根号形式时，同样不可忘记将二项展开式的知识点与之相联系。

来源：2023年 5月卷 P4真题 

而对于隐函数求导，一般多结合乘法的求导法则，个别会结合除法的求导法则，还需多熟练带指数函数的隐函数求导。用隐函数的求导原则推导指数函数的求导公式是至关重要的，教材附有例题，并有在真题中单独考核过。理综教研部温馨提示：谨记导数是切线的斜率。该考点的题目还将求切线，法线与交点进行了融合。

来源：2022年 10月卷 P4真题 ‍

参数求导会多一步将参数求导转化成笛卡尔求导的过程，此处需注意参数求导需结合链式法则，以及

的求导和积分，仔细审题。2023年 5月卷中参数求导放在了第八题，但参数求导占 5分，旋转体积占 7分。2023年 1月卷则是包含了三角函数的参数求导，需应用链式法则。2022年 10月卷的参数求导放在了第一题，比较单纯的考察参数求导，并未与其他知识点结合。

『三大积分方法』

来源：2023年 1月卷 P4真题

关于 Partial Fraction积分，在使用该方法前，需重点检查是否需要大除法，切不可一开始就 Partial Fraction积分。2023年 6月卷和 2022年 10月卷都有考一题，2023年 1月卷则是单独出题。但会在别的题目的积分运算中，并未提示需用 Partial Fraction积分，但根据被积函数的形式，需选择用 Partial Fraction积分。

来源：理综教研部模拟作答过程图‍‍‍‍‍

在以上模拟作答中，该考生的 Partial Fraction没有问题，但积分时忘记积分公式，没有乘上前面系数的倒数，造成 b问扣一分。此类错误很容易被忽视，每一行都是正确的，A和 B算的结果也是对的，但最后一行总结时抄写错误，扣去一分，考试还需稳住心态。若下面的小问该考生继续沿用了这个错误的结论，则会失去更多分数。

而换元积分，基本是在积分相同类型函数相乘，或带分式，带根号的情况下使用。需牢记换元积分的一般步骤：换被积变量、换被积函数以及换被积区间。三个由换元积分推导出来的公式需要考生熟练敏感，有助于后续高等数学的学习。

来源：理综教研部整合换元积分步骤‍‍‍‍

分部积分 By Part用于积分不同类型的函数相乘，有时可能一次分部积分积不出来，则需多次。或第一步分部积分，第二步换元积分。切不可一次积分未果，就轻言放弃。

2023年 5月卷将分部积分与换元积分放在了一题，第一问中分部积分涉及 4分，第二问则是 6分的换元积分。2022年 10月卷中换元积分一大题，分部积分作为计算过程涉及 9分。2022年 10月卷也是分部积分和换元积分放在了一题，第一问分部积分 7分，第二问换元积分为 5分。

部分考生不重视换元积分，平时练习不够，造成整体方法理解上虽快，但细节出现了遗漏，造成一整道题目写不完整。下面对照模拟作答看下 2023年换元积分的模拟作答。

来源：理综教研部模拟作答过程图

这两位考生忘记了等号两边可同时对 x求导，一直尝试 x用表示 u。有些形式简单，可直接表示。有些相对复杂的则只能等号两边同时对 x求导，应用链式法则。此处需引起高度重视。

涉及到这三种积分方法的知识点还有参数积分，旋转体积积分 (需谨记公式)，解微分方程 (关于微分方程，特别注意 rate是关于时间的求导，题干较长，读题需仔细，及时将文字转化成表达式)。即使附加上题干中的实际背景，本质上还是积分运算。由于积分所占比重之大，扎实掌握下来，P4模块的大块分值也能收入囊中。

来源：理综教研部模拟作答过程图

旋转体积注意旋转的曲线是几段，是否需要分段积分。其中 d问有 7分的高分值，不过该考生只对直线进行了积分，仅得 1分。注意还有一部分曲线下方的区域旋转，所以还要对一部分曲线进行积分。

但曲线的笛卡尔表达式还未知，所以还需把参数函数转化成笛卡尔函数，再积分。参数函数转化成笛卡尔形式+旋转体积积分，这个题目格调都高了。P4的试卷在考察 P4的知识点时，对综合知识点的题型很舍得给分。

『向量与反证』

向量涉及知识点较少，一方面是向量的点乘计算公式，另一方面是直线的向量表达形式，包括三角形法则。其他两点之前距离公式，中点坐标公式都是基础段的内容，会参杂在向量题型之中。另外需明确直线夹角与向量夹角的区别。

来源：2023年 6月卷 P4真题

反证法涉及考点可分为以下四点：①证明无理数 ②证明如果 a是谁的倍数，则 也是它的倍数 ③利用整数推出矛盾 ④找错。具体例题都可在教材第一章节中找到，内容相对基础，不容失分。

来源：2023年 1月卷 P4真题

以上就是理综教研部根据近年 P4模块真题设置与考点侧重的整合梳理，复习规划需要注意主次分配，搭配教材与错题整理高效筛查是为关键。预祝各位在下周的统考中能够赛出水平，摘星成功！