AIME考生都来了吗？咳咳，你的“救急”锦囊来了！
距离AIME开考仅有一周时间了，是否有感到时间不太够，心态不太稳？本文从
- AIME考试信息
- AME与AMC知识点的差异
- 答题注意事项（Tips）
- AIME题目难度
- AIME答题策略
- AIME历年分数线
- AIME历年考点总结和超强预测
- AIME知识图谱
总共八大角度，为大家细致剖析了AIME考试需要注意的点点滴滴。已为你汇总完毕，记得收藏好！
01
AIME考试信息
【考试时长】：3小时
【考试日期】：2022年2月9日下午13:00-16:00（AIME1）
【试卷语言】：中英双语
【试卷构成】：15道填空题，每道题的答案都是在000-999之间的整数
【满分】：15分
【计分方式】︰一题一分，答错不扣分
02
AIME与AMC10/12的差异
差异一： 不同的考试形式
从75分钟25题的选择题，变成3小时15题的填空题，巨大的考试形式的差异，这意味着我们不再可以用选择题的答题技巧（如排除法、试数法、度量法等等），而是要硬碰硬地去解决每一道题目。在相对比较充足的时间内，理解题意，联系对应的知识点和技巧，通过一步一步地推理和计算，得到正确的结果。这非常考验数学的基本功，也考验心态和计算的稳定性。
差异二： 更多的知识点
AIME的大部分考点都是与AMC12一致的，此外在几何、数论、组合模块各多了少量的知识点，这些知识点大多比较复杂，一般出现在AIME的后5题中，掌握这些知识点是冲击高分的关键。但是不要忘记前10题中，多数还是AMC10和12的核心知识点，因此巩固强化AMC部分的内容也是很重要的。（注：对于AMC10首次晋级AIME的考生来讲，备考AIME首先需要了解AMC12相比AMC10所多出的内容）
AIME相比AMC12新增的核心知识点
☞ 代数：无
☞ 几何：三角形的多心问题 根轴与根心 塞瓦定理（Mass point方法） 位似变换
☞ 数论：高次同余方程 指数型同余计算问题（费马小定理与欧拉定理、LTE引理、阶与原根相关定理） 线性不定方程
☞ 组合：无穷时间状态的期望问题 标数递推 生成函数计数
AMC12相比AMC10新增的核心知识点
☞ 代数：对数 三角函数 复数与单位根 多项式的根 圆锥曲线 三维坐标系 多重数列求和
☞ 几何：圆幂 圆内接四（多）边形 内心与圆外切四边形 正余弦定理 Stewart定理
☞ 数论：中国剩余定理
☞ 组合：递推计数 插板法
差异三： 更加灵活和综合的题目
AIME题目的最大特点就是灵活性和综合性。因此需要考生有很强的思维发散性，不要禁锢于某些刻板的公式和套路，而是真正去理解、思考、联想，找到隐藏在众多表面线索背后的本质。
➤ 灵活性：AIME里很多题目的考察不注重固定的知识点（性质或公式），而是背后的一些数学思想。例如代数部分，无论是对数题、三角题、复数题，都可能会考察一些代数变形的思想和技巧，如整体代换、因式分解、递推方法、对称式和轮换式、自相似、赋予代数式几何含义等等。这些技巧都非常灵活，不是死记硬背就可以套用的公式，需要考生拿到题目时，进行思考、分析、尝试，确定最合适的方法，然后再进行求解。
➤ 综合性：AIME的很多题目都可能会涉及多个模块的知识点，即涉及交叉领域的题目。例如一道三角函数的题目，可能会牵扯复数和多项式的技巧以及几何的性质；一道几何的题目，可能会用复数和坐标系的方法；一道代数的题目如果有很多整数的条件，可能会和数论有很大的关系；一道概率计算的题目，可能最终是一个递推数列求解或者多重数列求和的问题。
➤ 多样性：AIME的题目往往会有很多的切入点，也会有多种解法。例如一道组合题目，可能可以用分类讨论加枚举解决，可能可以用递推进行计算，也可能用一一对应的方法一步解决。一道几何题，可能可以用勾股和相似解决，可能可以用三角暴力计算解决，也可能用建坐标系的方法解决。因此越“多才多艺”的同学，在做AIME题的时候，越是能够找到最合适的方法，提高自己的正确率。
03
答题注意事项
❶ 在考试前先确定自己的答题策略：
➤ 自己的目标是做到第几题，做出多少道题目？
➤ 一道题目目标是花多少时间？最多花多少时间？
➤ 最后留多少时间来检查？
➤ 自己有没有特别擅长的模块？要不要优先做自己擅长的题目？
➤ 有没有特别薄弱的模块？要不要先跳过自己薄弱的题目？
❷ AIME部分需要记住的公式：
➤ 代数：三角恒等变换公式（注意积化和差-和差化积），复数单位根相关公式，三角的复数表示公式，对数运算公式，递推数列求解通项方法，均值不等式，高次方程韦达定理，圆锥曲线的方程，坐标系中距离公式（点-直线，直线-直线，点-平面），直线夹角公式，鞋带定理；
➤ 几何：常见面积和体积公式，勾股定理，正余弦定理，圆幂计算公式，三角形center的相关性质，托勒密定理，Stewart定理，塞瓦定理（或者mass point的性质）；
➤ 数论：因式分解公式，因数相关公式（个数、和、乘积），不同进制转化公式，同余计算法则与同余方程解法，中国剩余定理，费马小定理与欧拉定理；
➤ 组合：插板法公式，二项式定理，Hockey-Stick恒等式，容斥原理公式；
❸ 解题前，先想一想：
➤ 几何题可以想想能不能建系做？如果建系的话，计算量是否合适？最后决定用什么方法；
➤ 三角函数化简问题，可以考虑能不能用复数表示后再化简；坐标系中涉及点旋转的问题，可以考虑用复数表示；
➤ 递推数列问题，先算几项找找规律，看看是不是周期数列；再思考能不能用累加累乘或者特征方程求解通项；如果不可以求通项，可以考虑相邻两个式子相减，消常数后因式分解或者构造新数列；如果递推关系明显与整数有关，需要从数论的角度来考虑；
➤ 代数题或者几何题中，如果强调变量都是整数，那么很有可能最后是数论题（例如列出一个整数方程）；
➤同余类问题，要分清楚是线性/多项式类同余问题，还是指数型同余问题，前者可能涉及中国剩余定理和线性同余方程组的求解，后者可能涉及费马小定理和欧拉定理、阶与原根的性质、LTE引理。
➤ 组合题要分清楚是普通计数问题（普通方法），有限时间状态（标数递推法）还是无穷时间状态（状态转移图和列方程），它们的解题方法完全不同；
➤ 组合计数题中，“至少存在（at least）”类问题和“都不满足”类问题，可以考虑算反面（complementary counting）和容斥原理（PIE）；间隔与相邻类问题，分配与选择问题，可以考虑插板法；经过分类讨论， 能把情况n变为n-1或n-2或者更小的情况，可以考虑递推方法；
❹ 做题过程中的注意事项
➤ AIME中有些题目文字较多，基本上数学题中不会有没用的信息，因此一定要仔细读题看图，如果线下考试的话在上卷上标记出重要信息，如果线上考试则在草稿纸上写下题目的重点信息；
➤ 线上考试的同学，几何题无论有没有给图，都在草稿纸上画一遍图（建议多准备几支不同颜色的笔）；
➤ 草稿也不要写得太乱，要让自己检查的时候很快能找到每一步的计算结果；
➤ 双语试卷读题时，先看自己熟悉的语言，如果觉得题目有歧义，再看另一种语言来确认；如果有配图的，可以先看图再看文字；
04
AIME题目难度
从表格可以看出，15题中，1-5题，6-10题，11-15题这三个区间的题目正确率的差异还是较大的，因此我们可以这样来分类：
➤ 1-5题（简单题）：正确率在50%以上。这部分基本对应AMC10/12的11-20题的难度。
➤ 6-10题（中等题）：正确率在15%-50%中间。这部分基本对应AMC10/12的21-24题的难度。
➤ 11-15题（难题）：正确率在15%以下.这部分题基本对应的都是AMC12的压轴题的难度。
注：这个分类并不是完全精确，可以发现有些年份中，1-5题中也会有中等难度题，6-10题中也会有难题，11-15中也会有相对简单的题目。因此大家做题时，如果某道靠前的题目完全没有思路，说明可能就是一道难题，则可以及时跳过；后5题也不要看都不看一眼，说不定也有不那么难的题目~~
05
答题策略
1-5题正常按照顺序做，当感觉到题目变得复杂时（大约是从第6题附近开始），可以考虑以下策略：
➤ 均衡型：如果自己不同模块的水平比较均衡，可以按照题目顺序进行答题，每道题目控制好时间，一道题目上卡了太久就及时跳过。
➤ 模块回避型：如果自己在某一模块上明显薄弱（例如组合），那么就先全部跳过此类题目，完成其他题目后若还有时间再回过头来做这类题目。
➤ 模块优先型：若自己不同模块的水平差别十分明显，那么建议可以根据自己不同模块的水平，从高到低依次解答剩余题目。例如几何最强则先做几何，组合最弱则最后做组合。
06
历年AIME分数统计
注：以上均为美国本土的考生数据。2021年应该把缺考的考生都记为了0分，因此0分考生的占比非常高，且同一分数在2021的百分比排名也比其他年份靠前许多。
07
AIME考点总结与预测
08
AIME知识结构图
08
总结：还有一周，如何高效复习？
- 阅读完整篇文章，思考清楚自己的目标、答题策略、时间分配方案；
- 最近3年的真题卷，如果还没有刷过的同学，一定要再做一遍（有时间的可以做最近5年的）；
- 整理一遍之前的错题，重新做一下；
- 对照前面的知识结构图，在笔记本上逐条写出相关的性质、定理、解题方法等，如果发现自己不太熟悉的部分，赶紧复习一下或者寻求老师的帮助；
- 考前一天，切记不要刷太多的题目，把知识点过一遍后，调整好状态，早点睡觉休息！
最后，祝各位AIME的考生，能够在本次考试中，发挥出自己的全部水平，取得理想的成绩，在冲击数学赛事的更高荣誉的路上，踏出坚实的第一步。
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