在 Alevel数学 P2模块中，直线与圆的综合题是必考题型之一，分值通常占据 8-12分，不仅考察考生的逻辑思维能力，更注重运算技巧的熟练运用。部分同学在面对此类题目时，常因缺乏清晰的解题思路而感到无从下手。事实上，只要掌握其核心知识点与解题方法，直线与圆的问题并非难以攻克。本文 G5教研部 老师将深入剖析这一题型的要点与技巧，帮助考生高效备考，轻松应对考试挑战。
重点题型 解题策略
G5教研部 老师建议以下必考公式要牢记。1：中点坐标公式 ; 2：圆的标准方程 ; 3：两点间的斜率公式; 4：两点间的距离公式
G5教研部整合公式截图
『重点题型思路梳理』
常考题型 1-垂直平分线的求法：
首先考生需明确中垂线的定义：过线段的中点且与该线段垂直的直线。这类题型仅涉及两步：求出已知两点间的线段斜率从而由垂直关系得出中垂线的斜率。再利用两点间的中点公式代入直线即可。
常考题型 2-定点处的切线方程：
已知圆的方程和圆上一点求该定点处的切线方程。解题思路与中垂线的求法类似：连接定点与圆心利用两点间的斜率公式求出该条半径斜率，半径斜率已知则切线斜率已知 (切线与该半径垂直，斜率之积为 -1)。最后将该定点代入切线方程求出截距 C即可。
常考题型 3-已知切线斜率求截距：
G5教研部整合P2教材例题截图
这类题型解题方法其实并不唯一，常用方法将直线与圆的方程联立即可。通过联立后的式子展开化简并将其整理成标准的二次方程的形式即 ax²+bx+c=0。考生应明确这个二次方程只有两个作用。
1：解方程-求出交点坐标，2：利用根的判别式 b²-4ac=0求出截距 c。此时因为切线方程并不已知所以无法解出方程求交点，只能先利用切线与圆只有一个交点的性质 (即判别式为 0)确定切线方程，才能求出交点 (交点即切点)坐标。常考题型 4-直线与圆的关系：
直线与圆只有三种位置关系：相离，相切和相交分别对应的交点数量为 0，1，2三种。
G5教研部强调若同时出现直线与圆的方程 (无论两者是何种关系)，直接将其联立化简成 ax²+bx+c=0。再通过判别式的值说明该二次方程根的个数即可推出直线与圆的位置关系。
『例题精讲-运算处理技巧』
G5教研部整合P2教材习题截图
G5教研部整合作答规范截图该题主要有两处易错点：
易错点 1：联立后的方程会出现三项平方展开。考生在作答时需将其中任意两项当作整体展开即可。
易错点 2：展开后的方程同时出现 x和 c两个未知数。
作答时应明确该等式是关于 x的方程，除 x以外的未知数统一将其当成常数/系数处理，找到 x²项，x项，常数项合并即可。
『真题趋势』
G5教研部 老师指出，直线与圆专题在历年真题中的考察难度不大，解题思路通常包含联立与画图分析。前两问基本考察配方和圆的标准方程。最后一问通常需考生具备一定的作图和分析能力。解题思路上来说相对固定，并没有太过跳脱的技巧性思路。
以 24年 5月真题为例，a问通过配方变形成圆的标准方程即可找出圆心坐标和半径。b问中出现切线方程，将其与圆联立并整理得到二次方程。因为切线斜率并不已知，因此整理得到的二次方程无法求根，意味着只能从判别式入手。
由切线的性质得出此方程只有一个交点即判别式为 0，建立的便是 b问中的等式。求出斜率 m后切线与圆均为已知方程，回头解出整理过的二次方程便是交点 P (切点)的坐标。
G5教研部整合24年 5月 P2真题截图
G5教研部整合规范作答截图
G5教研部建议：直线与圆专题难度适中，解题思路固定，核心在于配方、联立方程与判别式运用。a问通过配方求圆心与半径；b问利用切线性质 (判别式为 0)求斜率，再解切点坐标。考生需熟练掌握配方技巧，理解切线性质，并注重作图分析能力，以高效应对此类题型。
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