暑假过后，秋季开学正是 IBDP 阶段学生们要为了 IA 忙活起来的季节了。今天就重温下一篇高分数学 IA 符合了官方的哪些评分标准。
如图，IBDP 数学不管哪个方向或者哪个级别，Internal Assessment (简称 IA） 都占据了20%的分值。每年我都会带指导一些学生，做一些 IA 的选题筛选和大纲确认。
这些学生，最终获得的评估和分数都很不错，今天我就分享下自己的小心得，没有多高大上的内容，都是实操层次的方法和建议。在具体介绍 IA 的要求和评分细则之前，我们先来认识熟悉下数学 IA 具体是什么。
其实，数学 IA 就是一份需要学生完成的研究性报告。虽然官网给出的很多范文篇幅 6-12 页之间，但是实际长度和字数并无限制。加上附图和数据，目前很多学生完成的 IA 都在 20 页左右。
很多初次接触 IA 这个概念的同学都会误以为自己要写一篇学术论文，其实相比于学术论文，IA 对于知识的原创性并没有强制的要求，而是更加强调对知识的应用以及和个人兴趣的结合。
对知识的应用，就是要求学生能够在 IA 中将自己所学习的数学知识，就某一个问题做一定程度的拓展延伸。
这时又会有人会问，这某一个问题我该怎么找到呢？也的确有一些同学，在学校布置 IA 初稿后来咨询如何选题，觉得我肯定得选一个 “高大上” 的 “世界难题”，这样才能保证高分。
事实并非如此，IA 更看重的选题和个人之间的联系。
因为不同的人针对同一个问题，也会有不同的视角和理解。即便是看上去很普通的选题，只要你的观点与众不同且有理有据，也可以不同凡响。
说完上面的大规则，我们结合 IA 整体的评判标准和一位同学怎么准备 IA 实际案例来介绍下 IA 的准备中我们都需要注意什么。
先看官方对 IA 的评判标准：无论是 AA 或者 AI 方向，也不论是 HL 还是 SL， 官网有着近似统一的评判标准（Assessment Criteria）：
1Communication
Communication 主要强调的是整个报告的前后一致性 （Coherence），文章组织架构 （well-organized）, 结构的完整性 （Complete）和语言的准确性 （Concise）。很多同学在写 IA 初稿的时候，最容易犯的错误就是过于注重内容而忽略了文章的结构。
我记得当我的学生 Alex 把他的初稿发给我时，摆在我面前的是一个 6 页密密麻麻全是文字关于如何测量一个甜甜圈体积的 “长篇大论”。还没有看他写的内容，我就已经告诉他作为一份研究报告，文章的结构和组成应该和一份学术论文是相似的，麻雀虽小五脏俱全。只有把整个文章分节，并配上对应的标题，才能让读者和考官一目了然。
一般来说，研究报告有这样的几个部分：
1）Introduction & Rationale - 介绍进行这项研究的原因，相关的背景知识和之前相似研究的介绍，针对这个研究有哪些猜想。
2）Method - 具体描述在研究中使用的知识和理论，对之前没有出现的理论给出合理详细的解释和推导。
3）Analysis & Investigation - 对得到的结果和数据（仿真，实验，理论推导）进行分析，对不同的变量情况做出讨论。整个研究中的方法是否被证实是正确的，还有哪些可以在今后改进。
4）Conclusion - 根据自己的结果，得到的结论。是否验证了猜想。
5）Biography & Appendix - 别忘了在最后放上自己研究中涉及的所有数据，引用的所有文献，链接和其他资源。
总的来说，一个完整的研究报告回答了以下几个问题：
2Mathematical Presentation
Mathematical Presentation 要求 IA 中必须使用合适的数学术语，符号，公式，图表来阐述数学问题。还是回到 Alex 的例子，我引用他初稿中的一段话，来具体分析下关于 Mathematical Presentation 需要注意的事项。
关于甜甜圈这个立体图形是如何形成的，Alex 是这样描述的。
不得不说这是张很有趣的图，然而却并没有把这个数学问题描述清楚。首先， dobut-shape 是一个常用但不专业的描述，正确的描述是 torus (圆环)。其次，既然是个数学上的几何图形，那就需要用数学公式去定义，同时配上对应的图。我将这些反馈给了 Alex, 他通过上网搜索资料把对应部分修改成了这样。
显而易见的是，在数学 IA 中最有效的叙述方式并不是文字，而是准确的数学公式和配图。
3Personal Engagement
这一点可能是整个 IA 评估中最难的一点。Personal Engagement 强调个人兴趣和选题的连接，只有将自己独到的见解融入到研究选题中，才能让 IA 变得独特有创意。正是如此，我们会发现很多从课本的例子直接衍生出的选题，并不能很好的体现出学生对于一个问题的理解和思考。
同样的问题也发生在 Alex 的 IA中。对于圆环的体积计算，我相信在之前考生的 IA 中已经出现了无数次。而 Alex 在 introduction 中关于圆环的介绍，老实说是一段任何学生都可以利用wikipedia 写出的introduction。我问 Alex， 为什么要测甜甜圈的体积呢？他说，因为比普通形状复杂一些，还可以运用微积分的知识。
显然这样一个回答，是无法应对 Personal Engagement 的要求。我又问他，如果让你自己去找一个圆环的物体，同时还能利用计算的体积做一些有趣的拓展，你能想到什么呢。他告诉我，觉得游泳圈也是圆环形，他一直好奇为什么所有船上的救生圈都是一个大小。
于是，我们将原本计算甜甜圈体积的研究改成了利用圆环的体积公式计算救生圈的体积，并分析一个标准救生圈提供的浮力大小。
4Reflection
Reflection 是我们在 IA 中经常容易疏忽的一个环节，也就是对研究得到结果的分析、评估和讨论。关于 Reflection，不仅仅包含了我们利用方法计算或者实验的得到数据和验证, 还可以进一步结合研究的立意进行适当讨论。在更换了研究对象后，Alex 利用圆环的体积公式计算出了一个标准救生圈的体积和其产生的浮力。
貌似到这里，整个研究报告的分析部分就可以收尾了。我就问 Alex, 既然已经计算出了福利大小，能否利用已知客观事实去验证和分析得到的这些结果呢。于是，他想到了可以利用简单的建模，去证明救生圈提供的浮力是否可以托起一个在水中的人。这样整个分析就更加完整，且有说服力。同时也可以展现自己对问题的分析能力。
5Use of mathematics
最后数学的 IA 离不开数学， 对于数学知识的运用，需要和所学内容的复杂程度相衬。举个例子，如果一个 HL 的 IA 涉及到的知识都是 SL 中包含的，可能数学的应用就会被判定为过于简单。
和其他准备 IA 的同学一样，Alex 也担心自己 IA 中的数学部分体现的不够充分。仅仅是应用到了复杂的体积计算公式，并不能充分反映出对 HL 数学的知识的掌握。
因此，我建议他，不妨结合资料，试着运用 AA HL 中学到的积分计算旋转对称图形体积公式自己去推导出圆环的体积公式。
最终， Alex 顺利完成了 IA 初稿。后期又经历了一些学校老师反馈和英文写作本身的润色。在截止日前顺利提交。我们来回顾下 Alex 这篇 IA 从开始的想法到成稿的过程，其实就是着眼于日常生活中的大家都可以观察到的一个小问题，找出这样一个小问题背后对应的数学问题以及数学模型。
结合自己课内所学，将这样一个小问题，通过一直追问到不断进行深度挖掘和自我经历的联系，以及不断进行延伸思考，最终将小问题变成为一个较为成体系的，具有一定深度和研究价值的数学问题。
主题新颖，又贴近生活学习的小研究报告的过程。这也是 IB 课程这些年备受推崇的原因之一，让学生更具有探索精神，所学的知识怎么更好和外部世界相结合，找到自己作为单独的个体“人”对于社会和世界的意义。
高分的 IA 毫无例外都有鲜明的学生个体的兴趣方向这个特征。
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