2022AP 微积分AB北美卷FRQ真题分析及难度点评

各位AP小伙伴们好呀~2022年5月9日进行的AP微积分AB考试已经结束，本场考试为线下纸笔考试，CB官网已更新了2022AP微积分AB北美FRQ真题。

试卷整体难度点评

与往年相比，今年2022年北美卷的微积分AB，选择题和FRQ大题都比较简单。考察知识点与考察形式都和往年类似，属于非常容易能考出高分的卷子，估计5分成绩线会在69左右甚至更高。

从整体考点而言，与往年类似。常考知识点仍然集中在Unit5的一阶导、二阶导与原函数的关系、MVT中值定理与IVT介值定理的区分与应用、Unit6的Fundamental theorem of calculus微积分基本定理等。这些在历年的考察中都分数占比颇多，属于性价比较高的知识点，所以同学们一定要对此非常熟悉。

此外选择部分还考察了关于limit极限的部分知识，主要关于asymptotes渐近线，以及Differentiation的limit定义、Definite Integral的limit等，需要考生对于微积分的本质等有足够的理解。三角函数相关知识也仍然是常考难点，所以明年打算备考AP微积分的同学一定从现在就要开始复习or学习三角函数相关知识了。

逐题分析

第一题：

本题考察了Accumulation Function 积累函数相关的导数及积分应用。题目中给出了从5.AM到10.AM期间，车通过收费站的rate为A(t)，并且告知了收费站在5.AM时没有车辆在等待。也就意味着在t=0时正在排队的车辆数为0，相当于给出了初始值。

(a) 题目要求写出计算从t=1到t=5期间排队等着通过收费站的总车辆数的积分表达式。

那我们按照题目要求，写出对A(t)在t在1到5之间求积分即可。

(b) 题目要求算出rate的average value。

因为给的函数就是rate，所以我们用average value公式进行计算即可，对A(t)求积分并除以区间长度。

(c) 题目问在t=6时的rate是增还是减。

那我们求出rate的变化率，看是正or负即可。所以对A(t)求在t=6时的导数值，正即increasing，负即decreasing。

(d) 题目给出了一个堵车时划线的条件，并给出了在t=a到t=4之间线内车辆数的模型N(t)。要求求出在线内车辆数的最大值，并近似到整数。

既然是最大值，那此题就是最值问题，所以我们对N(t)求导，得到N’(t)=A(t)-400，之后再用求最值的方法，求出极大值，并与端点值相比较，找出最大值即可。别忘了近似到整数～

第二题：

本题考察了Unit8求面积、体积等相关问题，并且灵活考察了关于related rate的内容。对于vertical distance的考察与2015年国际卷FRQ第4题考点与2018年国际卷FRQ第4题非常类似，如果参加过我们考前冲分集训课程的同学应该会觉得非常眼熟。

(a) 题目要求算出f与g之间围成的面积。

由于题目图像没有对f和g做具体区分，所以我们需要通过f和g的表达式知道它们的图像大致形状，判断出f在上，g在下。之后在-2到1之间对f-g求定积分即可。

(b) 题目要求算出f与g之间的vertical distance在x=-0.5时是增还是减。

对h(x)=f(x)-g(x)在t=-0.5时求导数值即可，正即为increasing，负即为decreasing。

(c) 题目以f和g之间为出的面积为solid的base，每个cross section形状是垂直于x轴的正方形，求solid体积。

这个题的考察相当基础，形状是大家最熟悉的正方形，方向也是垂直于x轴。所以算出截面面积为(f-g)的整体平方，即正方形的面积，之后对截面面积算定积分即可。

(d) 题目利用c问中的vertical line作为探究的对象，要求算一个related rate相关变化率的问题。

两个变量为f-g与截面面积，那利用相关变化率的解决办法正常求导代值即可。

第三题：

本题考察了Unit5与Unit6的联合应用，也是每年必考的题目类型，涉及到积分含义、一阶导与二阶导应用、极值最值问题等。

(a) 题目要求算出f(0)和f(5)的值。

由于题目给出了f(4)=3，并给出了f’导数的图像，所以利用微积分基本定理就可以算出想要的结果。

(b) 题目要求得到f的point of inflection拐点。

f的拐点就是f‘的增减改变点，所以仅有x=2和x=6。

(c) 题目给出了一个新函数g，问g在哪个区间为decreasing。

对g求导得到f‘-1，所以我们需要知道导函数在哪个区间是negative负的，就能得到答案。

(d) 题目要求算出g的最小值。

那么先通过判断f'-1的图像知道哪里是g的极小值点，再算出端点值进行比较，最小的值就是最小值。

第四题：

这道题是一个表格题，表格内容基本都会涉及到approximation估计的内容，这也是历年的考察重点。

(a) 题目要求估计r‘的average rate。

利用表格中的数据算r’的difference quotient即可。

(b) 题目问是否有某t使得r‘=-6。

由于表格给的就是r’的值，所以这道题考察的应该是IVT的应用。写出IVT的条件continuous，并进行适当解释就能拿到分数。

(c) 题目要求用right Riemann sum估计积分值。

每个矩形都用right endpoint value来去计算面积，再加到一起就可以。

(d) 题目给出了关于cone的体积公式和height的变化率，求体积的变化率。

又是related rate相关变化率的题目。而求导之后式子中的r‘(t)可以从表格中找到，所以这里稍微灵活了一些。但如果对相关变化率足够熟悉，也是能拿到对应分数的。

第五题：

这道题是考察differential equation微分方程及相关应用的题目。本题考点也比较基础，没有太多灵活的部分，都在我们课堂上讲解和练习的范围之内。

(a) 题目给出了slope field图，并要求画出过特定点的solution图像。

根据slope field的趋势画出图像即可。这种画图题现在基本每年都会考察，大家还是要在平时的练习中做好积累。

(b) 题目要求写出过(1,2)点的切线方程，并用它来估计函数值。

利用微分方程求出slope，再写出切线方程，之后代入x=0.8，就能估计出函数值。

(c) 题目给出了二阶导大于0，问b小问中的估计是overestimate高估还是underestimate低估。

由于二阶导大于0，所以f是concave up的，那么linear approximation就应该是underestimate低估的。

(d) 题目要求用separation of variables分离变量法来求出particular solution。

用分离、积分、算c、整理的步骤就能得到结果。这道题的难点在于积分比较难算，所以需要同学们有较好的积分运算能力。

第六题：

这道题终于考察了Motion运动问题，该考点也是往年必考的内容，整体考察也很基础。题目给出了P沿着x轴运动的position function，也给出了Q沿着y轴运动的velocity function。

(a) 题目要求算出P的velocity function。

对P的position求导即可。

(b) 题目要求算出Q的acceleration加速度。

先对Q的velocity求导就可以得到。之后还需要知道speed在哪里是decreasing的，所以需要找到v和a在哪个区间是异号的，即v正时a负，v负时a正，找到公共区间就能得到答案。

(c) 题目要求算出Q的position function。

我们对Q的velocity求积分，再代入position的初始值就能得到答案。

(d) 题目问当t趋近于无穷时，哪个物体会远离原点。

那也就是问t趋近于无穷时，哪个物体的position会越来越大，也就是increasing。所以看P和Q谁的velocity在t趋近于无穷时会大于0即可。