为什么要学AP微积分？AP微积分学些什么？难不难？

学AP的中国学生，基本都会选微积分。近几年，在中国大陆，每年有大约1万人参加AP微积分BC的考试，大约4000人参加微积分AB的考试。

虽然，中国学生AP微积分的考试成绩蛮好，但其实真正将这门课学得很好的学生，应该不超过20%。如果同学们想真正学好这门课，顺便再拿个5分，请先了解下面这些问题：

为什么要学AP微积分？

需要先具备怎样的基础呢？

AP微积分学些什么？难不难？

怎么学好AP微积分？有什么建议？

我们的微积分课程是怎么设置的？我们是哪里来的信心推荐自己？

很多时候，做好一件事情，最重要的不是真正开始后所展现出的勤奋、能力、智商，而是动手之前所收集的信息，所做的筹划、准备、功课。

为什么要学AP微积分

不少同学，只是因为AP微积分是学校的必修课，或者家长觉得应该学，才被动选择这门课的。但如果不自己事先想清楚，为什么要学这门课，那在学习过程中遇到理解上的困难时，便容易烦躁，变成“优秀的退堂鼓演员”。微积分是大学的一门重要基础数学课程，也是高等数学的一个分支。作为现代科学的基础知识，微积分是许多学科和专业学习的必需内容。被称为“现代计算机之父”和“博弈论之父”的科学全才冯.诺依曼认为，“微积分是现代数学的最高成就，对它的重要性怎样估计都不过分”。

同时，中国的留美学生，大部分选择了商科、工程学、数学、计算机科学、自然与生命科学、社会科学等专业，这些专业都离不开微积分。

因此呀，不论是出于因爱智慧而产生的兴趣，还是出于未来的学习需要，微积分都是许多留美同学的必备课程。

对于擅长数学的同学，早点搞定微积分，便可以到了大学后，把更多时间留给更高阶或感兴趣的课程、活动。对于不擅长数学的同学，也非常值得现在搞定微积分，不然进入美国大学后可能会比较狼狈：大学老师不会讲得有多仔细，大牛老师希望学生尽量自己体会，他只做点指引；而水老师。。。哎呀，祝愿大家不会遇到水老师。

大家还可能在大学里遇到有的外教，他/她在教微积分时，有着酷炫的口音，“真心听不懂在讲什么”。

所以，申请美本、英本的同学，如果具备相应的基础知识，并且时间较充裕，都值得考虑学AP微积分。

学好AP微积分 需要什么基础条件

首先，需要先有不错的函数知识基础。不管是什么课程体系，也不管是自学还是跟学校学的，如果已经较好地学完了高中课程里的三角函数（trigonometric functions），那就具备了学微积分的基础。

具体而言，同学们学AP微积分之前，要熟悉这些知识：对函数（function）的理解、幂函数（power function）、多项式函数（polynomial function）和有理函数（rational function）、指数函数（exponential function）、对数函数（logrithmic function）、三角函数、反三角函数（inverse trigonometric function）、复合函数（composite function）、反函数（inverse function）等。

其次，要确保自己有不少时间可以分配给这门课。一部分同学可能会低估AP学习的难度，高估自己的效率。微积分毕竟是大学难度级别的课程，大部分同学也不是数学学霸，在能投入的时间又很有限的情况下，就容易学得迷迷糊糊的。

同时，同学们还要有克服一些学习困难的决心。学习具有一定难度的课程时，我们有时候可能会容易失去耐心、信心，时常觉得，“差不多就这样吧，或许它们就是很难懂，可能我就这智商”。或者有时候会，“好像都懂了，但还是不会算、不会用！我太难了！”

同学们请一定要意识到，对于绝大部分人而言，学会一项技艺、一门“功夫”、一门课程，就是需要有个细品的过程，就是会遭遇一些理解和接受上的困难，就是不会那么舒服。数学畅销书《怎样解题》的作者波利亚说，“把学习和解题当作纯粹的智力活动是错误的，决心和情绪也起了很重要的作用”。

如果以上三个基本条件还不具备，我建议先不着急选这门课——有进取心，敢于挑战自己是对的，但过于跳跃地追求进步和成长的话，也很容易在屡屡遭受打击的过程中，不断怀疑自己，慢慢磨去学习数学课程的信心、兴趣，这就弊远大于利了。

其实每年都有一部分同学，不适合学AP微积分——硬学的过程中，把自己弄得压力太大、太痛苦了。同学们的背景和条件各不一样，无所谓高低、强弱，不同的树有不同的开花长果的时间。我带过的年龄最小的微积分学生，当时才11岁。我也见过不少同学，初三或者高一选了微积分，学了一段时间后感觉很吃力，便明智地延后到高一或者高二，再学好这门课的。

AP微积分学些什么

微积分主要是对无穷小的量进行分析，因为实际的问题往往是无限变化、无限繁复的，需要进行无限细分（微分），或者无限细分后再累加（积分）这样的分析、计算。

AP微积分BC学习的知识包括极限（limit），导数（derivative），积分（integral），和无穷级数（infinite series）四块，这些也就是大部分大学、专业的单变量微积分这门课的主要内容。

AP微积分的课程及考试分为AB和BC，前者所学内容差不多占后者的70%，并且完全被后者覆盖。AB和BC各自所包含的知识模块，具体如下表所示：

在美国的不少大学，AB对应了其一个学期的数学课程，BC对应了其两个学期的数学课程。从知识内容的要求来说，学BC的同学不需要先学过AB。对于能自由选择的同学，如果数学底子确实较弱，但是又一定想学AP微积分的话，我建议选AB；否则，我建议跳过AB，直接选BC。

AP微积分的考试及难度

AP微积分的考试，考查的重点是对知识点的理解和基本应用，只需要有一般的计算能力，不会涉及到很复杂的计算。AB和BC的试卷结构都是一样的，试题都是分为两部分：选择题和大题，具体分配如下表：

AP微积分考试的卷面满分为108分，最后成绩会换算成1至5分，换算的标准可能每年略微不同。微积分BC的5分率（拿5分的学生所占的比重），不管是算全球考生总的，还是单看中国考生的，都是常年在40%左右；微积分AB的5分率，一般分别是20%左右（全球）和32%左右（中国）。

AP微积分的5分率之所以这么高，主要是因为题目出得不算难，并且拿5分的要求不高。一般而言，卷面得分大于等于69分，就能得换算后的5分；56至68的卷面分，即可得换算后的4分。AB和BC的要求差不多。

一般而言，AP达到4分的成绩，就可以兑换大学学分了。具体能换多少学分，要看各个学校自己的政策。

AP微积分BC明明比AB学的东西多了不少，也被认为更有含金量，为何最后的考试结果，却是BC的5分率比AB的高了不少呢？

因为这首先是一个学前选择的问题：一般而言，认为自己数学基础弱一些的同学会主动选择学习AB；其次，AB考查的知识点少一些，便在许多考点上换着形式反复出题，无形中也增加了一些知识点的考查难度。此外，有许多学校规定学生得先学AB，才能学BC，而BC差不多70%的内容就是AB的——这样的话，一些同学在学BC时，大部分内容又在做一遍复习。

考试只是手段，不是目的。拿到5分虽然不是很难，但考虑到同学们能够投入的时间比较有限，影响学习和心态的事情又很多，所以，这样一门满是抽象概念的课程，还挺考验少年和小仙女们的。

而且，考试拿到5分是一回事，真正学得好则是另外一回事。如果想为大学的数学学习打下好的基础，较自如地继续学习更高阶的数学课，还是要在AP学习阶段就踏踏实实做出努力，不要学个AP还学得花里胡哨的、各种糊弄事儿。

学习建议

对于想真正学好AP微积分、顺手拿个5分的同学，周叔有什么建议呢？总的来说，主要有以下这么几条：注意时间和进度上的把握；使用有质量的、适合自己的学习资源、资料；认真复习、练习，并且及时解决问题。

1. 关于时间和进度的安排，对于要考试的同学而言，请务必争取在3月中旬之前，完成对课程大纲所要求的知识点的学习，然后4月份通过练习，以及对书本/讲义/参考资料/学习笔记的复习，达到对知识点的更好的理解，以及达到AP考试的要求。

2. 关于资料，CB官方并没有出AP微积分的教材，只是发出了一份课程大纲。如果是自学AP微积分，或者学校的老师不怎么按AP的方向讲课，那请你一定要注意参考官方的课程大纲，看看自己具体应该学会哪些知识点，达到怎样的程度，看看自己所用的教材、所听的课有没有遗漏、跑偏。

目前最新版的课程大纲是2020年秋季版的，它其实同2019年的也几乎没有区别。

3. 对于教材的选择，要根据自己的基础、习惯进行选择。

好的教材应该是：写得专业、清楚，逻辑通畅、层层递进，例题解说到位、且能很好地帮助学生理解知识点的。

AP好教材的标准是：在满足上述标准的基础上，例题不仅能辅助理解知识点，还多是AP真题的风格。

AP的同学，在市面上较容易见到的微积分教材有：

1）James Stewart 写的

2）Pearson出版的、由Thomas（MIT的老师）写的

3）同济大学编写的《高等数学》

4）巴朗的（Barron’s）

5）普林斯顿的（Princeton’s Review）

6）McGraw-Hill的<5Steps toA 5>

7）Peterson出的<Master AP Calculus AB & BC>

8）MarkHowell等编写的<Be Prepared for the AP Calculus Exam>

其中，前3本不是专门针对AP的，都写得很详细、专业；后5本大体是按照AP课程、考试的要求编写的，大都存在一些缺点。

Barron’s相对而言内容比较全，考点说明也全，一些习题编得也蛮不错的，但也有一些不贴近AP风格的内容和习题，部分习题的设计思路比较怪异。Princeton’s Review这本作为AP微积分入门教材还可以，但是太基础了，甚至有个别AP考点没有在此书强调或者解析。

McGraw-Hill的<5Steps toA 5>整体框架、质量还过得去的，但也有不少不恰当、不详细的内容，也有存在知识点总结罗列过多的情况，不少练习题同AP考试的要求也不是很接近；而McGraw-Hill同<5Steps toA 5>配套的<500题>，简直是误人子弟、辣鸡中的战斗鸡。

Peterson出版的这本<Master AP Calculus AB & BC>，编写得还可以的，但是整体有点偏难，基础稍好的同学可以使用它。<Be Prepared for the AP Calculus Exam>这本是我个人比较推荐的，编写得很好，只是现在国内可能买不到了，美高同学可以找找。

对于自学微积分的同学，如果数学底子不错，或者大学准备学习数学、物理等相关专业，则适合用前三本中的某一本。喜欢看英文教材的话，则我最推荐James Stewart的，哪个版本的都行；喜欢看中文的话，则同济大学那本蛮好用的。

自学的同学，如果数学底子偏弱，则可以搭配使用James Stewart的和巴朗的。在校内学微积分的同学，如果学校的老师靠谱，讲得好，那你就紧紧跟着老师“天使的步伐”就好，多和老师沟通学习，并且注意在后期通过练习往年真题，加深对知识点和AP考试的理解、把握。

如果学校的老师不怎么好好讲课，那你就把自己当成自学的学生吧。校内学的同学，也可以将学校的教材，同AP微积分的课程大纲做一下对比。如果发现，学校为你配备了一本不好用的教材，你用得很不舒服，那你要自己额外找1-2本教材辅助。

4. 关于复习资源、资料

资料、资源在精不在多，请同学们不要图一时热闹和心理安慰而找一堆花里胡哨的，千万别随随便便选择，因为，同学们最宝贵的学习资源是时间。低质量的资源、资料不仅没帮助，反而是累赘和误导。

怎么判断资料、资源是不是靠谱的呢？一方面，可以听听靠谱的家长朋友/学长、老师的反馈、推荐——使用过的人，比较有发言权。另一方面，同学们要主动关心、在意所使用的资源的质量，而不只是被动接受家长推过来的。

具体而言，对于想上的课，看能不能事先获得授课老师过去的讲课视频。

老师的节奏和逻辑好不好、适不适合你，要有判断，对于不好的、不适合自己的课，应该及时退掉，不要浪费时间。对于复习总结资料，作者是不是写得认真、条理清晰，是东拼西凑的，还是干货满满，同学们读一两遍后应该也能有判断了。对于不好的资料，早点扔掉。

此外，选择校外课程时，应该再关注一下，过去的学员好评多不多，学员成绩怎么样，实不实在——比如，广告说一年100个微积分5分，结果只展示了20份反馈，这怎么说得过去呢？篇幅有限吗？在市场这片森林里，人人都说自己好，个个都展示着美丽的羽毛。这考验麻麻和同学们选择时的能力和耐心。

5. 关于复习、练习

通过练习、解决问题，加深对知识点的理解、熟练，是非常必要的学习步骤。但不少学AP微积分的同学，在练习环节出了问题，主要表现为：一是练习时不够较真，二是不够重视真题，三是没有重视计算器的操作。

1）所谓的练习要较真，是指对所做的题要多一些思考、总结，不能满足于只是浅浅地刷了些题，简单地知道答案是什么，而是要真正想清楚题目的解答逻辑、过程以及所依据的知识。

练习的过程中，还要时常去补充自己的学习笔记。对练习较真还应该体现在，自己要多尝试写出大题的作答过程，既要思路清晰，过程严谨，还要字迹工整。不少同学虽然知识点理解得还不错，但是容易在AP考试时拿不到大题的步骤分。

遇到不会的、疑惑的，一定要及时、大胆地问专业的老师。

2）复习阶段请一定要好好练习往年真题。有的同学长时间使用某本辅导书上的练习，到非常临近AP考试才开始练习几套真题。其实，AP的真题除了能帮同学们好好准备考试，也提供了一个很好的学习标准，许多真题确考查学生理解及运用基础知识的设计上，都做得蛮好的。College Board的官网上能下载近年的自由问答题。我们也会发带选择题的历年真题给学员。

3）同学们还要注意熟悉计算器的操作。一些细节还是值得注意的，比如，有的同学不管面对什么样的方程，都是使用计算器里solve的操作——这样的话，有的时候会看不到、或者看不全，题中对应区间里的solutions。再比如，不注意选择radian的单位状态的话，算带着三角函数的定积分，结果完全不对。

机构的AP微积分课程及信心来源

学好一门AP课，正常来说，需要分为两个大的步骤：第一步，一点一点地建立起知识框架，并学习一些相关的技能、方法；第二步，复习、练习，对知识点达到更好的理解和认知，并能较自如地使用那些技能和方法。与之相对应，我们的AP课程，分为精讲班和复习课。前者主要开设在暑期、秋冬季、圣诞假期、国内寒假、春季。后者主要包括精练班和串讲冲刺班，一般开设在3月中下旬至5月初。

在精讲班里，我们会从零开始，讲解一个个定义、概念、性质、计算方法、应用，很系统、很详细，并且搭配讲解许多精选的例题，帮助同学们更好地理解、吸收。

我们今年暑假安排的精讲班，时间如下：

复习课，就更考验一个老师对课程及考试的熟练度和专业理解了。在复习课里，我们通过讲解真题或者梳理考点，帮助同学们查漏补缺，并且强调易错点、难点、必考知识点。