AP统计学知识梳理

AP 统计学总计考试时长为3h，包括40道选择题(MCQ)，时长为90min，占比50%。6道简答题(FRQ)，时长90min，占比50%。考试时全程可以使用计算器。

对于想要拿到5分的同学，需要正确率达到70%+左右，想要拿到4分也需要55%左右的正确率。

AP统计学按照考试大纲共可以分为四个部分，分别是：描述性统计，实验设计和抽样，概率论和推断统计。

其中推断统计在考试中占比最高，也是在statistics考试常会遇到的，但是还有很多同学还掌握不够好的内容，这部分由三部分组成，为抽样分布，区间估计和假设检验，在复习时要注意。

统计的大题由2-4个小题组成，每个小题都有三个等级的评分标准：correct, partially correct, incorrect，所以并不是只求出正确答案就能得到满分，也并不是不会做就得不到分。

在回答大题时要讲究格式：文字描述+列举公式+答案单位缺一不可

思维导图

以下是复习干货， 帮助大家在考前梳理一遍！

数据探索部分

· 分类型数据(categorical)注意当两个变量相互独立时，每种变量的所占比例是不变的。

· 数值型数据(quantitative)要分清楚不同的图像，以及如何看不同的图像情况。

· 点图Dotplot，茎叶图Stemplot，直方图Histogram，条形图Bar graph，箱线图Boxplot（几乎每次都会考！）

描述图像的三个方向：center，variability ，shape

· Center包括：平均值mean，中位数median

· Variability包括：极差range，四分位数差inter-quartile range，标准差standard deviation，方差variance

· Shape包括：偏态skewness，间隔gap， 异常值outlier

例题：

（答案为C）

Range= maximum – minimum

inter-quartile range (IQR)= Q3–Q1

outliner：不在[ Q1-1.5IQR, Q3+1.5IQR ]内

标准差是用来表现一组数据相对平均值的离散程度。标准差越大，波动性也就越大。

偏态(skewness)分为：左偏分布left skewed，右偏分布right skewed，单峰分布unimodel，双峰分布bimodel，均匀分布uniform

根据正态分布表，z值可以和probability 相互转化。

例题：

（答案为A）

线性回归部分

双变量数值型数据是研究两个变量之间的关系，所用图像为散点图(scatter plot)。

▲散点图图示

线性关系从两个方向（strong and weak，positive and negative）来进行描述，通常使用相关系数(correlation coefficient)r来描述两者之间的关系。

判定系数（coefficient of determination）r²(R-sq)含义为：the proportion of the variation in y is explained by its linear relationship with x.

例题：

（答案选C）

残差图residual plot：

一个好的残差图的性质：

（1） around the line of 0.

（2） no obvious pattern.

（3)same variance. (PS: nothing about positive or negative)

抽样方法和实验设计部分

· 抽样方法：simple random sampling，systematic sampling，stratified random sampling，cluster sampling

例题：

（答案选D）

· 实验设计方法：completely randomized design，block design，match-pair design，paired design

例题：

（答案选A）

区分各自的特点，同时重点在于如何设计（how to do sampling or design.）

· 实验设计三项原则：

1.control or comparison.

2.randomization.

3.replication.

· 误差error：抽样误差分为抽样误差sampling error和调查偏差survey bias.

抽样误差可以通过增大样本量和改变方法减小。调查偏差只能通过改变方法来调整。

· 偏差bias主要有：Undercoverage bias, non-response bias, voluntary bias, wording bias, response bias这几种，注意区分。

概率和随机变量部分

随机变量(random variable) 分为离散型(discrete)随机变量和连续型(continuous)随机变量。

离散型随机变量分为：一般型，二项分布，几何分布

· 一般型：

mean(the expected value)数学期望值

variance and standard deviation 方差和标准差

例题：

（答案选D）

· 二项分布(Binomial distribution)：试验次数固定，关注于成功的次数。

· 几何分布(Geometric distribution)：试验次数不固定，关注于何时第一次成功。

例题：

（答案为B）

· 连续型随机变量：正态分布(normal distribution).

Empirical rule(68-95-99.7rule)：68%/95%/99.7%的数据在均值的1/2/3个标准差的范围内。

· 独立随机变量的组合：（出现概率大）

例题：

（答案选B）

抽样分布部分

· 中心极限定理 central limit theorem：当样本量足够大时，统计量的抽样分布可以被视作正态分布。

判定标准：

- 样本均值 sample mean：n≥30

- 样本比例 sample proportion：np≥10 and n(1-p)≥10

· 抽样分布的均值和标准差：

· 抽样分布正态的3个条件:

（1）random sample

（2）N≥10n

（3)The population is normally distributed orsample size is large.

例题：

（答案选D）

· t分布：当总体标准差未知时，使用t分布来代替正态分布。其自由度为n-1。

· 置信区间部分：定义：区间包含参数 ←Interval contains parameter( population special value)

例题：

（答案选B）

· 计算时需要的数据：

· 寻找临界值(critical value):

（1）根据总体标准差是否已知（均值问题）

（2）confidence level或α

（3）单尾情况(one tail)还是双尾情况(two tail)(PS: AP里面通常只有双尾区间)

用计算器找critical value时注意使用的是inverse（反向）方法。

注：务必注意单尾和双尾在计算器上输入数值上的不同！！！

· 计算置信区间时注意方法选择：one/two sample t/z interval for mean/proportion

· 置信区间的通项公式：statistic ± critical value × standard error

不同方法所对应的公式不同，注意区分

例题：

（答案选E）

还有两种特别形式：match pair和slope

注：Match pair 和Slope 只使用t值，Match pair情况在计算器计算时使用t interval。

· 最小样本量计算：

样本量计算时z值均视为双尾情况。计算比例时注意，如果比例没有给出，那么默认p=0.5。

例题：

（答案选C）

· 置信区间的简答题答题步骤：

（1）State

先陈述要构建一个关于什么数据的置信区间，并说明置信水平。

（2）Plan

先说明要构建置信区间的具体情况和方法，在检查是否满足抽样分布的条件。

（3）Calculate

使用公式或计算器算出置信区间的上下界

（4）Conclude

根据得出的结果进行总结性总结，包括三要素confidence level, parameter, interval.

假设检验部分

做假设时注意原假设总是使用=，备择假设使用<，>或≠。

两种错误类型：

第一类错误(Type I Error) :发生概率为α（红色部分），原假设正确但拒绝原假设。

第二类错误(Type II Error) : 发生概率为β（蓝色部分），原假设错误但接受原假设。

统计检验力(Power of test): 发生概率为1-β，原假设错误同时拒绝原假设。

两种错误类型的关系是相反的，即一种错误发生概率增加，另一种就会下降。通过增加样本量，可以同时降低两种错误发生的概率。

注：无论是Type I error还是Type II error，本质上都是犯了判断错误。

例题：

（答案选A）

进行假设检验时也要判断使用的方法：one/two sample t/z test for mean/proportion不同方法所对应的公式不同，注意区分

例题：

（答案选C）

同样还有三种特别检验方法：match pair和slope以及置信区间

置信区间判定方法：看置信区间的范围有没有涵盖原假设，若包括原假设，则不拒绝原假设。若不包括原假设，则有证据拒绝原假设。

例题：

（答案选E）

· 假设检验的简答题答题步骤：

（1）State

根据题目提出假设，并且定义参数含义。

（2）Plan

确定使用的检验方法，并检查是否满足分布的条件。

（3）Calculate

使用公式或计算器算出统计检验量(test statistic)和p值。

（4）Conclude

比较数据情况，根据得出的结果进行总结性陈述。

分类型数据的假设检验使用卡方分布（chi-square distribution）。

卡方分布是一个右偏分布，数值型皆为正态分布即对称分布。检验时要满足的条件包含

1. random sample.

2. expected count≥5

例题：

（答案选B）

同学们在考前临时抱佛脚时可以按照这份cheat sheet来复习准备。

简答题一定要按照考试规范的套路来进行回答，务必要记住！统计考试前一定要熟练计算器的使用，熟练的使用计算器可以大大节约你的做题时间！！！