下个月就到了AP考试的时间了，大家在复习时是否清楚自己在知识点的掌握上还有没有疏漏呢？这篇文章总结了AP微积分AB和BC的考试要点，FRQ答题规范，并梳理了各章节核心知识点，给大家在复习阶段提供参考。
考前必看
1.要点总结
以下为AP微积分AB/BC中相对不容易掌握的知识点，检验一下自己的掌握情况吧。
·导数应用（图像）：图像题融合了增减性，最值，凹凸性，拐点等众多知识点，对概念的清晰掌握和逻辑能力的要求都不低。
·导数应用（相关变化率）：多个变量间的关系相对复杂，题目比较灵活，计算量也偏大。
·分部积分（BC）：计算量偏大，系数容易出错。
·解微分方程：步骤较多，对计算要求比较高。
·极坐标（BC）：与直角坐标差异较大，图像可能会比较复杂，将解析式转化成图像有一定难度。
·体积问题：需要一定立体图形想象力，抽象程度高。
·级数（BC）：整章抽象程度都比较高，相对难以理解的章节，需要理解记忆的知识点也比较多。
2、FRQ答题规范
以2023年FRQ第一题为例，根据答案中的评分标准，在（b）问中得到满分需要列式表示出平均值，并得出正确答案。
需要同学们注意的是，即使是计算器部分的简答题，也要先列式再写出答案；一方面这样才能拿全步骤分，另一方面即使答案不准确，也不至于丢掉所有分数。
在更复杂的（d）问中得到满分，则需要写出完整的求global maximum的过程。可以看出，论述过程并不需要长篇大论的英语，同学们只要按照解题步骤把过程写清楚，在用数学符号表达不清时配合上一些少量英语表述即可。
过程的严谨才是得分的关键。尤其注意在使用Mean Value Theorem这样的定理时需要写清楚定理的条件，所以在复习时不要只关注定理的结论，也要注意在什么条件下定理才成立。
微积分BC思维导图
知识点梳理
1. 极限存在的条件：左右极限相等
2. 求极限：若代值可以得到结果则代值运算，若不能则选择以下方法
· 因式分解
· 比较最高次项
· 利用特殊极限
· 洛必达法则分子分母同时趋近于0或无穷时
3. 夹逼定理
4. 渐近线
▼例题： 
本题答案为：C，求垂直渐近线时，需注意约分后再看分母何时为0 5. 连续性
▼例题： 
6.导数定义
可导条件：
7. 导数运算公式
· 链式法则
▼例题： 
本题答案为：D8. 隐函数求导
9. 参数方程求导（BC）
对于参数方程，可以分别找到x关于t的导数和y关于t的导数，再进行计算。
对于高阶导数，可以对一阶导数的结果再次求导即可得到二阶导。
▼例题 
本题答案为：B10. 极坐标求导（BC）参考参数方程导数的做法，先把极坐标r，θ的关系转化为直角坐标x，y的关系，再按参数方程的做法求导。
11. 增减性与极大/极小值
如果函数在某点由增函数变为减函数，那么该点在附近函数值最大，为局部极大值；如果函数在某点由减函数变为增函数，那么该点在附近函数值最小，为局部极小值。
· 找极值的步骤：（1)找到函数的一阶导
（2)找到导数为0或不存在的点
（3)判断导数符号的变化
如果找全局极值，则在以上步骤基础上，将符合条件的点和区间端点的函数值放在一起比较，得出最大/小值。
12. 二阶导，凹凸性和拐点
凹凸性发生变化的点称作拐点(points of inflection).
找拐点的步骤：(1）找到函数的二阶导(2）找到二阶导数为0或不存在的点(3）判断符号的变化，方法与一阶导数符号的判断类似。只要符号发生变化就是拐点，无论由+变-还是由-变+。13. 相关变化率
14. 介值定理，中值定理，极值定理
▼例题 
本题答案为：C
15. 积分基本公式
16. 积分换元法和配方法
选取u时要注意u的导数应是原本被积函数的一部分。注：定积分的换元法要注意上下限的变化。配方法指的是利用与arctanx或arcsinx相关的公式来积分，通过换元凑成需要的形式。▼例题: 
本题答案为：D▼配方法例题： 
本题答案为：A
17. 分部积分法（BC）
18. 因式分解法积分（BC）先通过因式分解把被积函数分成两项，再通过待定系数法确定分子的值。
19. 黎曼和四种类型:- LeftRiemann Sum:
- RightRiemann Sum:
- Midpoint Riemann Sum:
- Trapezoidal Riemann Sum:
定积分与求和形式转化：
20. 微积分基本定理
此定理为定积分运算的依据。
▼例题： 
本题答案为：D
在积分上限函数中，f(x)是g(x)的导数，g(x)是f(x)的原函数（反导数）。▼例题： 
本题答案为：D
21. 平均值
22. 反常积分（BC）
积分区间无穷或积分区间内函数无界时，用极限来表示积分的区间
23. 平面面积
以x为积分变量时，用包围阴影图形的上面曲线减下面曲线
以y为积分变量时，用包围阴影图形的右面曲线减左面曲线
24. 立体体积（1）旋转型体积旋转型包括没有空心的disk method和有空心的washer method。
- Disk method：
- Washer method：
若旋转轴为与坐标轴平行的直线，积分中截面圆的半径用函数与旋转轴的距离表示。选择积分变量看旋转轴与哪个坐标轴平行或重合（例如绕x轴旋转则对x积分）
（2）截面型体积
用函数表示截面的面积，并对这个函数积分。
积分变量选择看截面垂直于哪个坐标轴。
需要掌握正方形，长方形，半圆，等边三角形和等腰直角三角形面积的计算公式。25. 极坐标面积（BC）
极坐标函数包围的面积计算公式：
两个极坐标函数之间的面积公式：
积分区间可以通过观察图形的角度范围以及列方程计算θ的范围。26. 弧长平面内曲线弧长：
参数方程曲线弧长（BC）：
27. 运动问题
总距离，位移，速度，加速度，速率间的关系：
二维运动（BC）：二维运动问题结合参数方程来考虑，位移，速度，加速度都分为水平方向和垂直方向计算，以向量形式表示，如position vector可表示为
这些向量的大小利用勾股定理把两个方向组合起来表示，比如求speed就用
来表示。求total distance的问题用含参数的平面弧长的公式来解决。28. 解微分方程解形如
的微分方程步骤1：分离变量
步骤2：对等式两侧积分
步骤3：积分后整理式子成用x表示y的形式，并代入特殊值求出常数C
29. 线性估算
用函数上一点的切线来估算切点附近的函数值f(x)≈f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀),
，x₀为切点的横坐标。
欧拉法（BC）：分段并重复多次的线性估算。
▼例题： 
本题答案为：B
30. 指数增长和logistic growth
指数增长模型：
P0为t=0时函数的初始值，符合此模型的函数即为指数增长。关键词：增长率与函数值成正比（proportional）Logistic growth 模型(BC)：
A的值为函数在t趋近于无穷时的极限。
函数值在到达A/2后，增长速度开始变缓。
31. 级数（BC）
判断级数收敛：
（1)N-th term test
（2)Geometric series test
几何级数在|r|>1时收敛，≥1时发散。
（3)P-series test
（4)Integral test
注：积分的值与级数值不完全相等。
(5)Comparison test
(6)Limit Comparison test
可以用于分式形式级数的判断，根据分子分母最高次数的差来选择相匹配的p-series，则级数与这个p-series收敛情况相同。(7)Ratio test
多用于含有阶乘和指数函数的级数判断收敛，也在计算power series收敛区间时使用。
(8)Alternating test
注：第二个条件指的是数列绝对值递减，不需要考虑符号。
级数收敛判断方法的选择：
先判断级数的类型选择对应类型的方法，比如交错级数直接用alternating series test 判断。
其他情况：含有指数函数，阶乘的级数选择ratio test；多项式分式选择limit comparison test；与已知是否收敛的级数有严格的大小关系时可选择comparison test；题目明确提出或比较容易积分时可选integral test。
几何级数求和：
几何级数的公比r由第n项和n-1项的比值得到。收敛的几何级数可以用公式求和。
▼例题：
本题答案为：D
收敛区间和半径
x=c为power series的收敛中心，在距离c收敛半径r以内的范围内的x都可以使级数收敛，这个范围就是收敛区间。
计算收敛区间步骤：1.令用ratio test得到的比值结果小于1，并解不等式2.不等式的解为级数absolutely converge的范围，分别将边界值代入原级数判断是否收敛3.若边界值收敛则包括在区间内，发散则不包括注：converge conditionally的x值位于收敛区间的边界▼例题： 
本题答案为：B
泰勒级数和误差上界
泰勒级数和麦克劳林级数计算公式：
注：题目中泰勒级数的degree指的是最高次数，non-zero terms指的是包括几项。
需要知道的麦克劳林展开式：
泰勒级数除了直接通过公式求导计算得出，还可以由已知展开式加减，乘常数系数，求导，积分，换元得到
Alternating error bound：
交错级数的误差上界为所取的级数的下一项的绝对值。计算error bound只需要从题干按关键词中提取信息代入公式即可得出结果。
考前寄语
五月AP考试在即，同学们在复习阶段要有规划的做一些题目，最好能计时完成整套真题来适应考试的形式和节奏。刷题时一定注意改错和复盘，总结自己哪些知识点掌握不到位，抓紧复习。切忌盲目刷题，解决问题比机械练习更有效。
最后祝大家取得让自己满意的成绩，学到了知识，取得了进步就是最大的收获。
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