​2023年AP微积分考试真题及难度分析

一.考试概况

选择题：总共45道选择题中，求导的题量（Calculate Derivative和Application of Derivative）占到了三分之一，积分（Integral和Application of Integral）内容也基本相当，级数占20%，剩下极限和微分方程均不足5道。

简答题：FRQ1是经典的表格/黎曼和（Table/Riemann Sum）组成的应用题；FRQ2是意料之内的Motion along the curve；FRQ3是一道Slope Field的题目；FRQ4是看起来和2023 AP Practice Session的图十分相似的图像题；FRQ5是Area/Volume/Arc Length三位一体的几何题；FRQ6是标准的级数题。

AB的简答题与往常一样：有三道和BC相同，另外将Motion along the curve改为了Motion along the line，新增了包括二阶导的微分方程和面积/体积的几何题。

总而言之，这次的题目非常标准，各个题型均有涉及，没有太偏太怪让大量学生摸不着头脑的难题，计算器部分的选择题反而出奇的简单，甚至有学生表示：即使没有计算器也能做对一半多的题目。最大的障碍反而出现在最后四道简答题的计算量上，有个学生写断了所有带的的铅笔！

二.重点复盘

我们的考生一出考场就反映了几个不同寻常的选择题：

1.Arctan的反导

▲ 大概长这样

习惯于做U-substitution，Integral by part和Partial Fraction的同学可能会突然发现三种方法都失灵了，而这其实是arctan(x+2)的导数。

2.Slope Field的灵活应用

很多学生看到微分方程会本能地使用分离变量进行积分，用原函数的表达式求出某点的值。可这道题反其道而行之，给了一个斜率场，并提示经过已知点的是一条直线，让学生沿着斜率场延伸从而直接找到未知点的函数值。

3.没有x的麦克劳林级数

麦克劳林级数通常是含有x的展开式，而这次的有一道题只给了1/eˣ，让很多学生一时间忘记了这是当x=-1时，eˣ的展开式。

4.没有x和y的切线斜率

极坐标的导数通常是利用x=r·cosθ和y=r·sinθ求出来的，当题干直接给出了f′(π)和f(π)的时候，让不少同学吃了一惊，可是对于熟记极坐标导数公式的同学来说，反而省去了麻烦。

FRQ1：

▲ 与2021年FRQ1类似

前两问考察的主要是对于求导和平均值结合上下文的解释，以及正确使用左黎曼和与积分中值定理。后两问结合了用定积分求某时间点的值以及Optimization的既定套路。相信只要是牢记定积分求的是上下限之间的累积变化量，求某个点的值用积分+初始值就不难做对。

FRQ2：

▲ 与2021年FRQ2类似

考察的知识点包括Parametric Equation求Speed，Distance，Equation of tangent line以及Position。值得学生留意的是：Total Distance千万不要与Displacement搞混（我们在上课时已经强调了很多遍）。

FRQ3：

▲ 与2019年AB的FRQ6类似

除了一如既往地沿着已知点描图和解微分方程，这次的第二问还结合了切线的高估/低估，学生只要记住了：f(x)concave up, Linear Approximation is underestimate；f(x)concave down, Linear Approximation is overestimated难度就不大。最大的难点反而是解微分方程的计算量上（数太复杂，太难算了）。

FRQ4：

用学生的话来说：要不是题目中有两条线段的位置不一样，我还真以为自己做到原题了。这样的评价毫无疑问是对我们微积分团队的崇高赞美，是我们第一时间拿到官方发布的题目并迅速做出参考答案，及时在课堂上和朋友圈同学生们分享，才换来了学生在考场上的安心。

FRQ5：

一道结合了面积，体积和弧长的几何题。在秋季和寒假班期间我们曾在讲义和课后作业中见过，题目和做题方法极其显而易见，最难的部分仍然是计算。

FRQ6：

几乎是每一年考试都会出现的级数大题，考察的知识点却始终在我们的掌控之中，Ratio Test的收敛判定，泰勒级数的展开以及Lagrange Error Bound，我们的学生已经在冲刺班身经百战了。

三.教师总结

随着学生们7:30左右一个个失去了联系，老师们的悬着的心与学生们一起焦虑地度过了4个多小时。当一条条“5了”“感觉还好”“选择爆简单”“非常常规”“大题长得很像我做过的”等等信息开始密集地传来，我大概知道：“这次学生们稳了”。回首过去的一年，两条经验让学生们受益匪浅：

1.未雨绸缪，早做准备

在明确了AP考试的重要性并确立好目标之后，就要及早地规划课程学习。大多数学生们从秋季班开始就强化基础概念，在寒假班夯实了知识点，在春季班系统性地刷题和模考，在顶住了来自外界不利因素的干扰和内心的强大压力下交出了最好的答卷。

有部分学生起步慢了，后面的学习一步落下，步步落下，导致最后几天狼狈不堪。也有的学生虽然早早开始了准备，但是因为被其他的事情打乱了学习节奏，没能按照原本的计划一步一个脚印，最后临时抱佛脚的效果难以令自己满意。

2.两手都要抓，两手都要硬

微积分学的比较好的同学身上往往有两个共性：熟练掌握知识点和大量的练习。正所谓“学而不思则罔，思而不学则殆”，如果知识点大纲上的公式和老师讲解的做题方法没有背扎实，做再多的题目也是一遍遍重复着自己的错误。

如果仅仅把知识点背的滚瓜烂熟，却没有足够的练习和模考，那只能算是纸上谈兵，一旦遇到实际的题目总觉得和自己以为的大相径庭。实际上是因为缺乏真题训练导致的陌生。秦人不暇自哀，而后人哀之；后人哀之而不鉴之，亦使后人而复哀后人也。虽然成绩还有两个月左右才会出来，但是现在的你们总算可以从AP微积分中解放出来了，感谢你们自己努力了这么久！感谢你们完成了自己几个月前无法想象的壮举！