Alevel暑假先修课——高数

高数是很多对数学有兴趣或比较擅长数学的学生会选择的一门学科，普遍认为A率较高。不过家长们可不要太小看了这门课，A率较高主要是因为选择这门课程的学生数学水平普遍较高，部分题目难度能够达到甚至超过大学一年级数学课程。因此同学们如果确实选择了这门课，那还是要打起精神重视起来。

无论你是参加CIE还是爱德思考试局的高数考试，学习高数都不可避免地要学习纯数、统计和力学三个方向的数学知识，在爱德思考试局中，决策数学也可以作为高数计分的科目，不过即使这样，力学与统计的科目也肯定是避免不了的。

‍接下来我们分别讨论一下纯数、物理和统计这三个方向考试中的主要特点，以及先修课程主要能够为大家提供哪些帮助有的家长可能会有疑问，虽然说高等数学是给比较擅长数学的学生准备的，但如果真的涉及到了大学一年级的知识，那么这些学生还能够良好地掌握这些知识吗？

毕竟通常高数的分数线是很高的，例如爱德思考试科目的满分是75分，很多考试科目要到70分才能得到A*，这么高的分数线和貌似高深的知识，让很多家长和学生感到畏惧。首先，高数知识上确实是比较高深的，例如如果学生要顺利完成对高数纯数部分的学习，学生要相当熟练地掌握微积分中的泰勒级数展开，矩阵中的运算与变换等知识。

有一定背景尤其是理工科的家长就会意识到，“这不是我们大学才学的高等数学和线性代数的内容吗？而且当年我们作为大学生学得也很困难，现在高中生来学能学会吗？”这就需要说明CIE和爱德思在考试题目设置中和国内高考很不一样的地方了。

尽管这些知识是比较高深的，但是A-LEVEL考试局的考试思路是比较单一的，也就是说，考试局不要求你像大学生一样熟练地掌握这些知识，而是要求学生只需要“从特定的角度”掌握这些知识就可以了。

例如在力学M3中涉及对简谐运动（SHM）的知识要求。在大学角度来看，掌握这里的知识需要熟练地掌握微积分，了解整个公式的推导过程，深入理解这个运动的对称性，并能够和圆周运动很好地结合在一起。

但是在A-LEVEL的考试中，只需要掌握基本的思路和两个特定的公式就行了，考试的内容也很简单，就是“套公式”，而且相比于大学的题目很多时候要求学生能够独立地计算出结果，M3会给你提供答案，要求你“证明结果就是这个答案”，等于是把答案给你了，只让你写过程。

实际上这是符合欧美教学一贯的“培育型”而非“筛选型”思路的，也就是说，相比于考察学生是否掌握了很多解题技巧，二阶、三阶结论，是否能够在考场上灵机一动以便将相对较少的教育资源分配给有限的较为有天赋的学生，A-LEVEL体系更希望即使学生不那么灵光，也能够基本掌握这些知识，重点不放在偏难怪题上，目的是让想学习的学生“学会”。

因此，对于高数的学习来说，首先最重要的是对学习的对象“祛魅”，要认识到微积分或者矩阵也并不那么困难。其次，就是尽快熟悉各个章节的知识点，并尽快完成「不明觉厉」——「似懂非懂」——「原来如此」——「不过如此」——「好无聊啊」的学习心路历程的转换。通常，纯数、统计和力学这三个方向都要至少3-4个章节，学生才能意识到CIE和爱德思的出题套路，从而对高数的学习建立信心。

因此，在先修课程的前期教学过程中，节奏不宜过急，否则学生可能会因为始终未能建立信心而厌学。相反，在中后期的教学中节奏可以适当加快，即使学生对某些知识的具体解题技巧一时还不能掌握，但已经熟悉了知识，在后续的学习过程中可以逐渐熟悉。其次，高数的三个方向在侧重上略有不同。

纯数学更侧重计算能力，题目类型相对固定，重点是让学生熟练掌握长计算的能力。确实，与纯数学科目相比，高数的计算量要大得多。同时，主线要求学生掌握微积分、线性代数及解析几何这三个方向的核心概念。因此，这部分主要是提升学生的计算速度、耐力和稳定性。从知识原理上来说，有些概念本身是比较高深的，例如解二阶常微分方程，在大学中也算是一个较困难的课题。

但在A level考试中，学生实际上只需要记住公式并在考试时套公式计算即可。虽然学生能够深刻领会背后的原理是好事，即使领会得不那么完整，也并不影响考试做题。力学更侧重微积分在物理中的应用，更多要求对各种力学模型的掌握，这要求学生不仅要有计算能力，还要有一定的物理建模能力和空间想象能力。

如果学生同时报考了高数和物理，学习力学会很占优势，而且在学习过程中对物理的成绩也有明显帮助。统计学更侧重于概念的理解，对学生的模式识别能力要求最高。

从基本原理来说，涉及的很多概念是较困难的，但和纯数学一样，学生可以知其然而不知其所以然地完成这部分内容。统计学也是前期最难学但后期最省心的科目，因为一旦学生熟悉了考察的几个基本模型，只要能记得公式怎么套，统计就是计算量最少（而且很多部分可以用计算器代劳），计算过程最短，而且套路最死板的科目。学习这个科目唯一的困难可能是英语方面，由于很多题目很长，模型很生活化，每年都有学生出现考试看不懂题目例子中的单词的情况。

综上所述，本次先修课的思路很简单，首先通过基础章节的讲解引导学生完成这三个科目中比较基础部分的章节学习，让学生能够直接达到做真题的水平，为所谓的“高深知识”祛魅。

接下来，在课时允许的情况下围绕这些科目的核心思路（例如纯数的微积分、线代，力学的建模、微积分视角，统计的分布、抽样）和重点由易到难地讲解知识，使学生先建立整个方向的大概框架。然后让学生有机会在正式学习中逐渐由浅入深地提高数学能力，掌握做题技巧。